• linear equation

    • $a_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n = b$
      • $a$ 是 coefficient
      • $x$ 是 variables
      • $b$ 是 constant term

  • Systems of linear equations

    • m equations, n variables

    • $a_{11}x_1+a_{12}x_2+…+a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+…+a_{2n}x_n = b_2\\ …\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+…+a_{mn}x_n = b_m$

    • solution

      • $[s_1~s_2~…~s_n]^T$ 是一組解，代換到 $x_1$~$x_n$ 後滿足所有 equation 的向量

    • 所有 Systems of linear equations 都有

      • no solution
      • exactly one solution
      • infinitely many solutions

    • consistent/inconsistent

      • 如果有一組以上的解就是 consistent
      • 無解就是 inconsistent

    • equivalent

      • 如果兩組 Systems of linear equations 的 solution set 一樣，稱為 equivalent

    • elementary row operations

      • 不會影響 solution set
      • types
        • Interchange
          • 兩 row 互換
        • Scaling
          • 某 row 乘某個 nonzero scalar
        • Row addition
          • 把某 row 乘某個 scalar 後加到某 row
      • property
        • 所有 elementary row operations 都是 reversible
      • 用來求解

    • coefficient matrix

      • $a_{11}x_1+a_{12}x_2+…+a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+…+a_{2n}x_n = b_2\\ …\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+…+a_{mn}x_n = b_m$

        • 可以拆為 $Ax=b$

        • $A=\begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}&…& a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}&…& a_{2n} \\ …& …&…& … \\ a_{m1}& a_{m2}&…& a_{mn} \end{bmatrix}$

          • A 就是 coefficient matrix

        • $x=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ …\\ x_n \end{bmatrix}$

          • $x$ 是 variable vector

        • $[A|b]=\begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}&…& a_{1n} & b_1 \\ a_{21}& a_{22}&…& a_{2n} & b_2\\ …& …&…& … & …\\ a_{m1}& a_{m2}&…& a_{mn} & b_m \end{bmatrix}$

          • 叫做 augmented matrix