定義

• matrix

  • a rectangular array of scalars

  • size

    • m by n
    • 叫做 square if m = n

  • equal

    • 兩個矩陣的 size 和每個 entry 都一樣

  • submatrix

    • 從一個大矩陣刪掉 rows 或 columns

  • addition

    • 兩個大小相同的矩陣，每個對應位置的 entry 兩兩相加

  • scalar multiplication

    • 一個矩陣的所有 entry 乘以某個 scalar

  • zero matrix

    • 所有 entry 都是 0，該矩陣常以 $O_{n \times m}$ 來表示
    • 性質
      • $A = O + A$
      • $0 \cdot A = O $

  • subtraction

    • $A-B=A+(-B)$

  • transpose

    • $A^T$ 的 $(i,j)$-entry 是 $A$ 的 $(j,i)$-entry
    • Properties
      • $(A+B)^T=A^T+B^T$
      • $(sA)^T=sA^T$
      • $(A^T)^T=A$

• vectors

  • type

    • row vector
      • 只有 1 row 的 matrix
    • column vector
      • 只有 1 column 的 matrix

  • components

    • the entries of a vector
    • 用 the $i$ th component 代表 $v_i$

  • addition, scalar multiplication

    • 和 matrix 一樣

  • 矩陣表示

    • 一個矩陣常被表示為
      • a stack of row vectors
      • a cross list of column vectors

• linear combination

  • $c_1u_1+c_2u_2+…+c_ku_k$

  • scalars

    • $c_1,c_2,…,c_k$
    • 又被稱作 linear combination 的 coefficients

  • vectors

    • $u_1,u_2,…,u_k$

  • 如果 $u,v$ 非平行二維向量，則二維空間中所有向量皆是 $u,v$ 的 linear combination，且是 unique 的

• standard vectors

  • $e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ … \\ 0 \end{bmatrix} ,e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ … \\ 0 \end{bmatrix},…, e_n = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ … \\ 1 \end{bmatrix}$

  • $R^n$ 的任何一個向量都可以被 standard vectors 表示成 uniquely linearly combined

• 矩陣向量乘法

  • $Av=v_1a_1+v_2a_2+…+v_na_n$

• Identity Matrix

  • 對整數 n，$n \times n$ identity matrix
    • $I_n$
    • 每個 columns 是 standard vectors $e_1, e_2, …, e_n$ in $R^n$

• Stochastic Matrix

  • 對整數 n，$n \times n$ stochastic matrix
  • 所有 entry 都必須非負
  • 每個 column 的 entry 總和必須是 unity (相加為 1)